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| 2007年04月19日(木) | 序数と基数 |
数学の本を読むと、数には二種類のものがあると書いてある。ひとつは、１番目、２番目、３番目という具合に、番号や順序を表すために使われる数で、「序数（順序数）」と呼ばれる。
もう一つは、犬が３匹いるとか、猫が５匹いるとかいうふうに、集合の個数をあらわすもので、「基数（集合数）」とよばれる。この二つの数は本来は別物である。その証拠に、英語では別々の呼び方がされている。
（１）序数 first、second、third、 ……
（２）基数 one、two、three、……
序数（順序数）はその個体の全体の中のでの位置をあらわすものである。私が病院に行って、１０番という番号札をもらえば,それは私が１０番目に診察を受けることを意味している。だから、序数はその個体に所属している。
これに対して、私のクラスは生徒が２３名いるという場合は、この２３という数字はクラスの人数を表しているわけで、クラスの構成員である一人の生徒に所属しているわけではない。基数はその集まり全体の要素の個数を表しており、集合に所属している。
しかし、この二つの数はまったく別物かといえば、そうもいえない。たとえば、ここに３匹の犬がいるとき、私たちは「１，２，３」と順番に指を折り曲げて、最後に残ったのが「３番目」であることを確認する。そして、同時に、犬が全体で３匹いることを確認するわけだ。だからここでは「最後の序数＝基数」という関係が成り立っている。
子どもがお風呂で「１，２，３、…１００」と数えるとき、これは「序数」を唱えているわけだ。しかし、子どもが４０まで数えたとき、もし教育的な父親が、「さて、いままでのところで、いくつ数を数えたの？」と訊けば、子どもは自分が今口にした同じ数が、これまでに数え終えた数の総数であることに気づく。１００まで数え終わった子どもは、自分が数えた数の総数が１００であることを知り、「１００まで数える」ということは「１００個数える」ということだと理解する。
こうして子どもは、序数を手がかりにして、ここから基数を手に入れる。英語圏の子どもであれば、「third」まで数えれば、そのものの集まりの数（基数）は、「three」であると理解するわけだ。たとえば、「２１世紀」は英語では「２１ｔｈ」と序数であらわす。「２１歳」は「２１old」で基数であらわす。だから、序数か基数かという区別はいつもついてまわる。
中国や日本の子どもはこの面倒な読み替えはしなくてよい。序数も基数の区別があいまいだからだ。しかし、このことが「数」についての理解もあいまいにしているところがある。このことを踏まえた上で、「数とは何か」という問題に、明日の日記でもう少し迫ってみよう。
（今日の一首）
何気なく使う言葉もはるかなる
太古の恵みいとほしきかな
