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| 2006年04月29日(土) | √２長方形の不思議 |
現在私たちが使っている用紙にはさまざまな規格がある。たとえば、Ａ３，Ａ４、Ａ５というＡ判や、Ｂ３，Ｂ４，Ｂ５というＢ判の規格がある。そしてこれらの規格の用紙には、ひとつの面白い特徴がある。
それはそれらの長方形の縦と横の比がいずれも同じになっているということだ。つまり、それらは相似な長方形である。ここでＡ３を半分に折ればＡ４になる。Ｂ判についても同様である。半分に折っても、大きさは小さくなるが、形は変わらない。
だから、コピー機で縮小したり、拡大して、Ｂ４をＢ５にしたりできる。Ａ判とＢ判も大きさが違うだけで、形は同じだから、コピーで縮小・拡大して、たとえばＢ４をＡ４にしたりできる。これはとても都合がよいことだ。
ところでこうした不思議な性質をもつ長方形ができるためには、縦と横の辺の長さの比がどのようになっている必要があるのだろうか。長方形の縦を１、横をｘとおけば、これは高校で習う二次方程式の手頃な問題ということになる。
１：ｘ＝１／２ｘ：１ より、ｘ＾２（ｘの２乗）＝２、 ｘ＝√２
つまり、この長方形は、縦を１とすれば、横の長さは、２乗すれば２になる数、すなわちルート２になる。Ａ判やＢ判といった紙は、すべてこの「√２長方形」になっているわけだ。
√２という数は、ギリシャで発見された。２５００年ほど前にピタゴラスが発見した「三平方の定理」によれば、√２は１辺が１の正方形の対角線の長さに等しい。このことを知っていると、Ａ判やＢ判の紙が√２長方形になっていることを紙を使って示すことができる。
昨日、二年生のあるクラスで授業プリントが早めに終わったので、「√２の不思議」について話をした。そしてＢ５の用紙を生徒に渡し、これを適当に折って、縦と横の辺の比が１対√２になっていることを確かめさせた。
√２という数は、意外と身近に潜んでいる。それは私たちが毎日使っている紙にも使われている。二次方程式や、ルートという数が、このように私たちの身近で活躍していることを知れば、数学が苦手だった人も、いくらかは「数学も面白そうだな」と感じるのではないだろうか。
