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| 2002年05月29日(水) | 「二次方程式の因数分解」（２） |
さて、昨日に続いて、数学の授業のデモンストレーションである。対象は数学が苦手だという社会人のおじさんたち。中学校で習う「因数分解」を教材にして、彼らに数学の面白さを少しでも分かってもらおうと、もうひと踏ん張りしてみよう。
私「さて、このトランプのカードの数字をあててください。この数字を２乗した値に、この数字を２倍した値を足して、さらに３５を引くと、その合計の値は０になります。Ｄさん、どうですか」
Ｄ「急に難しくなりましたね。まったく見当がつきません」
私「そう言わずに、頑張ってみましょう。Ｄさん、黒板に式を書いてみて下さい」
Ｄ「わかりました。こんなもんでどうでしょうか」
ｘ＜２＞＋２ｘ−３５＝０ ・・・・・・・・・・（１）
私「正解です。それでは、この式を解いてみましょう。左辺を因数分解するのでしたね。それでは、Ｅさん、やってくれますか」
Ｅ「私は数学は本当に苦手なんです。その、因数なんとかいう奴が、とんとわかりません。何ですかね、その因数なんとかというのは・・・」
私「因数分解です。たとえば ６＝２×３ と分解できるでしょう。ここで、２とか３のことを６の因数と呼びます。この因数の積にすることを因数分解というのです。これは数字の場合ですが、式もこのように因数分解ができます。
たとえば、 （ｘ−１）（ｘ＋２） は次のように展開できますよね。
（ｘ−１）（ｘ＋２）＝ｘ（ｘ＋２）−（ｘ＋２）＝ｘ＜２＞＋ｘ−２
したがって、
ｘ＜２＞＋ｘ−２＝（ｘ−１）（ｘ＋２）
と因数分解できることがわかります。
Ｅ「なるほど因数分解がどんなものかいくらかわかりました。でも、どうやって因数分解をしたらよいのかわかりません。展開の方はできそうですが・・・」
私「どうしたら与えられた式を因数分解できるか。そのことを次に考えてみましよう。そのために、まず与えられた式が次のように因数分解できたと仮定してみます。
ｘ＜２＞＋２ｘ−３５＝（ｘ＋□）（ｘ＋○） ・・・・・・（２）
ここで、□、○に入る具体的な数字が見つかればいいわけですよね。それでは、さきほどから退屈そうにしているＦさんに答えて貰いましょうか。□、○の数字を言って下さい」
Ｆ「−５と７です」
私「正解です。Ｆさんはどうして答えが分かりましたか」
Ｆ「昔、学校で習いましたからね。掛けて−３５，足して２になればいいのでしょう」
私「その通りです。それでは、なぜそうするといいのか、説明はできますか」
Ｆ「説明はできません。ただ、そんなふうにすればいいと教えられたので、まあ、その通り覚えているわけです」
私「いわゆる公式として暗記したのですね。理屈はわからなくても、確かに問題は解けるし、点数はもらえますからね。でも、それでは数学の本当の面白さはわかりませんね。数学をほんとうに理解したことにもなりません。だれか、ちゃんと説明できる人はいませんか」
Ｇ「先ほど先生がやられたように、（２）式の右辺を展開すればいいのではないでしょうか。ちょっと、黒板を使わせて下さい。
（ｘ＋□）（ｘ＋○）＝ｚ＜２＞＋（□＋○）ｘ＋□○
一方 （２）式から （ｘ＋□）（ｘ＋○）＝ｚ＜２＞＋２ｘ−３５ なので、
□○＝−３５、 □＋○＝２ ・・・・・・（３）
これを解いて、□＝−５、○＝７が得られます。つまり、次のように因数分解できます。
ｘ＜２＞＋２ｘ−３５＝（ｘ−５）（ｘ＋７） ・・・・・・（４）
私「すばらしいですね。ひとつ質問ですが、どうやって（３）式を解きましたか」
Ｇ「まず、□○＝−３５に着目して、□と○の数字の組み合わせを考えました。そして浮かんだ１と−３５、−１と３５、５と−７、−５と７の４通りの中から、□＋○＝２を満たすものとして、−５と７を選んだのです」
私「完璧ですね。それでは、Ｇさんに、もうひとがんばりしてもらいましょう。最初の（１）式の答えを求めて下さい」
Ｇ「最初の（１）式をもう一度書くと、
ｘ＜２＞＋２ｘ−３５＝０ ・・・・・・・・・・（１）
（４）式から（１）式は次のように書けることになります。
（ｘ−５）（ｘ＋７）＝０ ・・・・・・・・・（５）
これが成り立つのは、 ｘ−５＝０ または ｘ＋７＝０ であればよいので、
ｘ＝５ または ｘ＝−７ です。１≦Ｘ≦１３ ということですから、結局 ｘ＝５ が答えです」
私「正解ですね。ほらこのとおり、トランプのカードは５もです。Ｇさんは数学が得意なのではないですか。苦手だなんて、うそでしょう」
Ｇ「得意だったのは中学時代までです。高校に行ってからは、まったく分からなくなりましたから。それで、理系をあきらめて、文学部の哲学科に行ったのです」
私「それはそれで立派な選択だったと思います。数学も哲学も昔は一緒だったのですよ。Ｇさんは決して数学の才能がないわけではないと思います」
Ｇ「そう言ってもらえると有り難いですね。実は、今までのところで、いくつかわからない点があるのです。質問していいでしょうか」
私「もちろん歓迎しますよ」
このあと、Ｇさんから、鋭い質問が次々と出された。それはいずれも、数学の本質にかかわるような質問だった。また、Ｇさん以外の人からも面白い質問が飛び出してきた。明日の日記で、そのうちのいくつかを紹介しよう。
＜今日の一句＞ 虹立ちぬ 心のなかも 雨上がり 裕
