| 2012年02月06日(月) | 東大入試の円周率の問題 |
東大入試の円周率の問題
数日前2chコピペ保存道場で知ったのだが、 2003年度の東大の入試問題にこのようなものがあった。
円周率が3.05より大きいことを証明せよ。
この問題が出された当時、 文部科学省は円周率を3と教える学習指導要項を出していて、 これに入試問題の形で反対した東大はすごいとのコメントがあった。 同意。
非力ながら解いてみた。
まず、円周率が3以上なのは次のようにして分かる。 円に内接する(内側にぴたりはまる)正六角形を描いて、 その六角形の各頂点を円の中心と結んだ線分--両端のある、長さのある直線--で同じ大きさの正三角形6個に分割する。 そうすると正三角形の辺は円の半径で、 円周にある正六角形の各頂点を結ぶ線分ののべ長さは円の半径の6倍、 つまり直径の3倍になる。 もちろん円周はそれより長いので円周率は3以上と分かる。
さて、円周率が3.05を越えることを証明するために、見当を付けよう。 今度は円に内接する正十二角形--辺の数を倍にする--の外周が円の直径の3.05倍を越えるのではないか。 ということでそのような正十二角形を正六角形と頂点6つを重ねるようにして描く。 さらに正十二角形の各頂点を円の中心とを結ぶ線分を引いて12個の二等辺三角形を作る。 このとき正三角形1個と二等辺三角形1個が重なることによって小さな直角三角形ができる (この三角形の残りの角はそれぞれ15度と75度)。 この小さな直角三角形の一番短い辺は円の半径の(1 - √3 / 2)倍の長さ、 二番目に短い辺は円の半径の半分の長さとなるので、 三平方の定理より一番長い辺の長さが求まり、 それは半径に2 -√3の平方根を掛けた値である。 これは正十二角形の辺でもあるので、 この値を12倍したものが直径の3.05倍を越えることを示せば証明完了。
計算機があれば正十二角形の外周の長さが円の直径の3.10倍を越えることがすぐ分かるのだが、 筆算で求めるとなると…
√3は「人並みにおごれや」の文句通り1.7320以上。 だから2 - √3は0.2680未満。 0.25だと平方根を取ったら0.5で12倍して6 (半径の6倍つまり直径の3倍の意)になるので、 0.26だと証明できそうと概算の目処を付ける。
0.25を分数に直せば2500/10000、 これは50の二乗を100の二乗で割ったものに等しい。 50より1つ多い51の二乗は2601となり、 2601/10000 --0.25よりちょっと多い0.2601で0.2680未満--の平方根は51/100。 これを12倍すると6.12 (半径の6.12倍の意)、 半分で3.06つまり正十二角形の外周の長さは円の半径の3.05倍を越えることが言えた! 醜い証明終。
ああしんど。 20年遅れて生れていたら入試に落ちていたな、絶対…
